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8vo Grado

Unidad 1: Los números racionales.

Tema 3: Los números racionales. Orden y comparación.

Dr.C. Aurelio Quintana Valdés y M.Sc. Margarita Gort Sánchez

INTRODUCCIÓN

- Generalidades sobre el contenido

- Objetivos específicos

- Materiales a consultar

- Estructura interna de la unidad temática

TRATAMIENTO METODOLÓGICO DE CONTENIDOS

- Los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros Z. Módulo o valor absoluto de un número entero.

- El conjunto de los números racionales.

- El número racional como cociente de dos números enteros. Representación en la recta numérica.

- Valor absoluto o módulo de un número racional.

- Las relaciones de pertenencia e inclusión entre el conjunto de los números naturales, fraccionarios, enteros y racionales.

- Orden y comparación de los números racionales. Utilización del orden para la interpretación de datos y análisis de tendencias. Densidad en Q.

- Ejercicios propuestos.

OBJETIVOS A EVALUAR

VOCABULARIO

OTROS RECURSOS

INTRODUCCIÓN

Generalidades sobre el contenido

En el tema 1 se sistematizaron los contenidos fundamentales sobre números fraccionarios en cuanto a la estructura de este conjunto numérico, los elementos que lo forman, el orden y la comparación de estos números en sus diferentes formas de representación.

Lo esencial que debe lograrse en este tema es que los estudiantes comprendan la insuficiencia en el conjunto de los números fraccionarios que llevaron a la ampliación al conjunto de los racionales, que identifiquen las características de los números que forman el conjunto de los números enteros y racionales y que establezcan el orden de los números racionales para su utilización en la interpretación de datos y análisis de tendencias.

Este tema abarca las 8 clases de la unidad temática 1.2 “Los números racionales. Orden y comparación” del programa.

Objetivos específicos

Primeramente debes tener claridad en los objetivos específicos que los estudiantes deben lograr en este tema los que se relacionan a continuación:

- Explicar el porqué de la aparición de los números negativos.

- Identificar los elementos que forman el conjunto de los números enteros.

- Determinar el opuesto y el módulo o valor absoluto de un número entero.

- Explicar el porqué de la ampliación al conjunto de los números racionales.

- Identificar los elementos que forman el conjunto de los números racionales.

- Representar números racionales en la recta numérica.

- Determinar el valor absoluto o módulo de un número racional.

- Establecer las relaciones de pertenencia e inclusión entre el conjunto de los números naturales, fraccionarios enteros y racionales.

- Comparar y ordenar números racionales.

- Aplicar el orden de los números racionales para la interpretación de datos y análisis de tendencias.

- Explicar la densidad en Q.

Materiales a consultar

Los contenidos de este tema, se encuentran incluidos en el CC8 en el Capítulo 1“Números con signos”, en los epígrafes 1.1 y 1.2 , también se encuentran en el epígrafe 1 del LT7 Capítulo 1 “Números racionales. Operaciones fundamentales”. Para la elaboración de las clases se dispone además de las video clases de las unidades, “Números con signos” de octavo grado y “El dominio de los números racionales” de noveno grado.

Estructura interna

Conceptos

Relaciones

Procedimientos

Números positivos.

Números negativos.

Números opuestos.

Números enteros.

Conjunto de los números enteros.

Números racionales.

Números racionales no negativos.

Números racionales no positivos.

Conjunto de los números racionales.

Opuesto de un número racional.

Valor absoluto o módulo de un número racional.

Orden de los números racionales.

Recta numérica.

Densidad del conjunto de los números racionales.

Los números racionales se escriben como expresiones decimales cuyo desarrollo es finito o infinito periódico.

El módulo de cualquier número racional nunca es negativo.

Dos números racionales opuestos tienen el mismo módulo.

A cada número racional corresponde un punto en la recta numérica.

Relación de orden en el conjunto de los números racionales.

Representar números racionales en la recta numérica.

Comparar y ordenar números racionales.

TRATAMIENTO METODOLÓGICO DE CONTENIDOS

Introducción a los números negativos a partir de situaciones de la vida.

Como vía metodológica para el tratamiento de este tema, resulta conveniente partir de mostrar a los estudiantes situaciones de la vida práctica en las que sea necesario considerar magnitudes en dos sentidos diferentes (opuestos) y que los estudiantes comprendan la necesidad de establecer una diferenciación entre estas cantidades de magnitud; de ahí surge a partir de situaciones de la vida el signo “–” y los números negativos.

Pueden analizarse situaciones y hechos históricos ocurridos antes y después de nuestra era, altitudes y profundidades de diferentes puntos del país y del mundo, pueden utilizarse las tres situaciones que aparecen en las pp. 5 y 6 del LT7 grado; la última de ellas (la de los móviles) prepara las condiciones para hacer la ampliación del rayo numérico e introducir la recta numérica y los números negativos.

Se realiza la ampliación del rayo numérico a la recta numérica, haciendo corresponder a cada número negativo un punto situado sobre la recta a la izquierda del punto al que le corresponde el número 0 (cero); a la derecha del cero están situados todos los números enteros positivos.

El análisis de estas situaciones da posibilidad de relacionar los contenidos matemáticos con contenidos de Historia y Ciencias Naturales, específicamente temas de Geografía y Química.

Además se debe mostrar la imposibilidad de resolver en Q+ ecuaciones como 2x + 6 = 0.

Los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros Z. Módulo o valor absoluto de un número entero.

Para el tratamiento de los números naturales y sus opuestos, el conjunto de los números enteros y el módulo o valor absoluto:

- Realizar la representación de los opuestos de los números naturales en la recta numérica como aparece en la p.7 del LT7.

Es importante resaltar que el conjunto formado por los números naturales y sus opuestos se nombra conjunto de los números enteros y se denota por Z.

- La representación de números enteros en la recta numérica se realizará a partir de los conocimientos que el estudiante tiene para representar números naturales en el rayo numérico; basta solamente explicar que para representar los números enteros negativos nos basamos en la simetría con respecto al cero.

Se sugiere utilizar fragmentos de la video clase 14 en que se ilustra las características del conjunto de los números enteros y los elementos que lo forman. Los estudiantes deben arribar a la conclusión de que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros y que todos los números enteros mayores que cero se consideran positivos, y sus opuestos, se consideran negativos, También debe establecerse la diferenciación entre el concepto conjunto de números enteros positivos y conjunto de números enteros no negativos, destacando que en este último se incluyen los números positivos y el cero.

El concepto módulo o valor absoluto de un número entero debe tratarse como un número no negativo, pues constituye un error muy frecuente decir que el valor absoluto de un número entero es un número positivo. Recuerda que el módulo del número 0 es el propio 0 y este no es un número positivo ni negativo. Para la comprensión de este concepto se incluye la representación geométrica (LT 7, p. 11), a partir de lo cual el estudiante debe llegar a la conclusión de que dos números opuestos tienen el mismo módulo. Se pueden utilizar fragmentos de la video clase 16 del grado en que se ilustra el tratamiento metodológico que debe darse a este contenido. También puede resumir las características de los números enteros mediante el resumen que se propone en la p.4 del CC8.

En esta temática se realizarán ejercicios como los siguientes:(CC 8, Ejercicios 4, 5, p. 6 y 8, p. 7).

Se incluirán otros ejercicios de carácter práctico como los ejercicios 6, 7, 9, 10 y 11 p.p.6 y 7 del CC8 en los que se muestren a los estudiantes ejemplos concretos de la vida en los cuales esté presente la utilización de los números negativos. Se sugiere presentar además datos de la Geografía, Física, Química e Historia en que estén presentes los números enteros negativos.

El conjunto de los números racionales.

La introducción del conjunto de los números racionales, se hará de la misma forma que se introdujo el conjunto de los números enteros a partir de situaciones de la vida. Se caracterizará el conjunto de los números racionales como el conjunto formado por los números fraccionarios y sus opuestos y se denotará por Q. (Se propone realizar los ejercicios 3, 4 y 5, p. 10 del CC 8). Se sugiere utilizar fragmentos de la video clase 20 del grado.

¡Importante!: Establecer la relación de inclusión entre los conjuntos: N_subconjunto_Z_subconjunto_Q

El número racional como cociente de dos enteros. Representación en la recta numérica.

Para la introducción del número racional como cociente de dos números enteros en que el denominador es diferente de cero se puede utilizar fragmentos de la video clase 21 del grado, igualmente para su representación en la recta numérica, se sugiere seguir el algoritmo propuesto que se ilustra en la video clase 22.

Para la comprensión de este aspecto se puede orientar la búsqueda de datos en contextos como los reflejados en el programa provisional de noveno grado, editado en el 2004, en el punto 1.1 del contenido, en el aspecto tres, referido al empleo del número racional.

- Considerar el número racional para designar datos, en términos de:

  • Cantidades directas. Por ejemplo: Producción de un determinado cultivo en un año, área de la superficie cubierta por bosques, precio de la libra de azúcar o del barril de petróleo en un momento dado, etcétera.

Relaciones entre cantidades tales como: por cientos, índices de productividad, tasas, promedios, etc.

- Organizar los datos recopilados en tablas que expresen la variación (crecimiento, decrecimiento u oscilaciones de todo tipo), lo que facilita el marco para que el estudiante analice y exponga sus criterios sobre las posibles implicaciones que en los planos socio-económico y político estos comportamientos reportan, tanto para Cuba como para los restantes países; esto crea las condiciones para que localice otras informaciones que guarden un corte similar.

- Precisar los datos de acuerdo con su significación numérica, en el conjunto en el cual se inscriben.

Se debe distinguir la diferencia entre el concepto de conjunto de los números racionales y número racional.

Precisar que:

- Los números racionales siempre pueden escribirse en la forma: p_sobre_q

- Los números racionales se escriben como expresiones decimales, cuyo desarrollo es finito o infinito periódico (LT7, p. 9).

- Los números racionales mayores que cero (los que están a la derecha del cero en la recta numérica) reciben el nombre de números racionales positivos.

- Los números racionales menores que cero(los que están a la izquierda del cero en la recta numérica) reciben el nombre de números racionales negativos.

- Los números racionales positivos y el cero reciben el nombre de números racionales no negativos. (se identifican con los números fraccionarios).

Valor absoluto o módulo de un número racional.

El tratamiento del concepto de valor absoluto o módulo de un número racional se hará similar al tratamiento dado al concepto de valor absoluto de un número entero. Se sugiere utilizar fragmentos de la video clase 26 y concluir con el recuadro que aparece en la p.10 del LT7. Hacerle ver a los estudiantes la interpretación geométrica del módulo de un número racional como se ilustra en la p.11 del LT7.

Las relaciones de pertenencia e inclusión entre el conjunto de los números naturales, fraccionarios enteros y racionales.

Se debe analizar el recuadro que aparece al final de la p. 8 del LT7 para las relaciones de pertenencia e inclusión entre el conjunto de los números naturales, fraccionarios enteros y racionales. Se proponen ejercicios como el 3 del CC 8, p. 5. y el 4 del epígrafe 2 del LT 7. Se establecerán las relaciones de inclusión entre los conjuntos N, Q+, Q, y N, Z, Q. Se recomienda la utilización de fragmentos de las video clases, 2 y 3 de 9no grado donde se establecen las relaciones entre los distintos conjuntos numéricos, se explica la el porque de las relaciones de pertenencia e inclusión y se presentan variados tipos de ejercicios relacionados con el tema.

¡Importante!: insistir en que la relación de pertenencia se establece de elemento a conjunto y la de inclusión entre conjuntos.

Se deben proponer ejercicios para determinar el carácter de verdad de proposiciones.

Es importante hacer comprender a los estudiantes el por qué:

-8_subcojunto_de_Z es una proposición falsa y que para ser verdadera debe escribirse llaves_-8_subcojunto_de_Z.

N_pertenece_los_racionales es una proposición falsa y que para ser verdadera debe ser N_subconjunto_de_los_racionales.

También pueden proponerse ejercicios que exijan de la interpretación de las operaciones con conjunto (unión, intersección y diferencia).

- La intersección del conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros es el conjunto de los números naturales.

- La diferencia del conjunto de los números enteros y en conjunto de los números enteros negativos es el conjunto de los números naturales.

Orden y comparación de los números racionales. Utilización del orden para la interpretación de datos y análisis de tendencias. Densidad en Q.

Para el tratamiento del orden de los números racionales es esencial que los estudiantes apliquen el concepto de “valor absoluto” o “módulo” de un número racional. Se recomiendan ejercicios como el 4c del CC 8, p. 6, así como 1 y 2 del epígrafe 3 del LT7 u otros similares.

El orden de los números racionales se introduce haciendo extensiva la relación de orden ya conocida para los números fraccionarios; para este aspecto se recomienda seguir el resumen del CC 8, p. 8., también se sugiere consultar el epígrafe 4 del LT7 y las indicaciones que se dan en la video clase 27 del grado.

Es importante que los estudiantes fijen el procedimiento práctico para comparar números racionales, lo cual se ilustra en el ejemplo del epígrafe 1.2 del CC 8. A partir del análisis de este ejemplo, se debe hacer ver a los estudiantes que entre dos números racionales cualesquiera que sean diferentes, siempre se encuentran otros números racionales. Esto significa que el conjunto de los números racionales es denso.

Se sugieren los ejercicios del 1 al 13 del CC8 p.p.9 a la 12.

Ejercicios propuestos

Además el profesor puede proponer ejercicios como:

1. Di a qué conjunto numérico más restringido pertenecen los siguientes números.

serie_de_nmeros

2. Di cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las que sean falsas.

a) ___En conjunto de los números enteros es un subconjunto del conjunto de los números naturales.
b) ___La intersección del conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros es el conjunto de los números naturales.
c) ___El número menos_un_tercio pertenece al conjunto de los números fraccionarios.
d) ___La operación de sustracción no siempre puede realizarse en el conjunto de los números naturales.
e) ____El módulo de cualquier número racional siempre es positivo.
f) ____Todo número negativo es un número entero.
g) incisos_ig_h
h) ___Todo número racional pertenece al conjunto de los números fraccionarios.
i) ___El número 0123periodo pertenece al conjunto de los números racionales positivos.

3. Sean los números racionales serie_de_nmeros_2

  1. Ordénalos, comenzando por el mayor.
  2. Represéntalos en una recta numérica.
  3. Selecciona de los números dados, dos que tengan el mismo módulo. Fundamenta tu respuesta.
  4. Determina 5 números racionales x1,x2,x3,x4,x5, tales que:

intervalos

4. En la recta numérica se han representado los números 0, a, b y c. (Todas las subdivisiones son iguales).

¿Cuál de las siguientes proposiciones es la verdadera? Fundamenta por qué las otras son falsas.

recta_numrica

1)____ c > a

2)____ - 2a = b 3) _____b < c 4) ____–c >b

OBJETIVOS A EVALUAR

En este tema se pueden evaluar los siguientes objetivos:

1. Identificar relaciones de inclusión y pertenencia en los distintos conjuntos numéricos.

1. Determinar el opuesto y el módulo o valor absoluto de un número racional.

2. Representar números racionales en la recta numérica.

3. Comparar y ordenar números racionales en sus diferentes formas de representación.

5. Argumentar relaciones y propiedades de forma verbal, gráfica y numérica.

VOCABULARIO

El vocabulario que te presentamos a continuación contiene las palabras más utilizadas en este tema y en las cuales los estudiantes tienen tendencia a escribirlas con faltas de ortografía, por lo que se requiere una labor atenta con este vocabulario en las diferentes actividades que programe (dictados, buscar en el diccionario el significado común y compararlo con el significado matemático).

número

módulo

opuesto

racional

signo

pertenencia

numérica

inclusión

expresiones

valor

absoluto

infinito

recta

periódico

positivo

cálculo

negativo

fraccionario

denso

decimales

subconjunto

OTROS RECURSOS
Propuesta de ejercicios a incluir en las clases del sistema

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