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9no Grado

Unidad 1: El dominio de los números racionales

Tema 1: Relación de inclusión entre los conjuntos de los números naturales, enteros y racionales

 

Dr.C. Aurelio Quintana Valdés y M.Sc. Margarita Gort Sánchez

 

INTRODUCCIÓN

- Generalidades sobre el contenido.

- Objetivos específicos.

- Materiales a consultar.

- Estructura interna de la unidad temática.

TRATAMIENTO METODOLÓGICO DE  CONTENIDOS

- Sistematización sobre los conjuntos numéricos.

- Comparación y orden de los números racionales en sus diferentes formas de representación para describir tendencias de los datos recopilados.

- Operaciones con números racionales. Problemas.

OBJETIVOS A EVALUAR

VOCABULARIO

OTROS RECURSOS

 

INTRODUCCIÓN

Generalidades sobre el contenido

En 8vo grado, los estudiantes iniciaron el trabajo con los números racionales, se realizó la ampliación del conjunto de los números fraccionarios al conjunto de los números racionales y también se  introdujo el conjunto de los números enteros como en el conjunto formado por los números naturales y sus opuestos, además se trabajó con los números naturales y los números fraccionarios en sus diferentes formas de representación al resolver operaciones y problemas.

Este  tema  está concebido y estructurado con la finalidad de consolidar y sistematizar las relacionas de inclusión y pertenencia en los conjuntos numéricos estudiados, la estructura del sistema de numeración decimal, el orden y la comparación de números  racionales y la formulación y resolución de problemas.

El  tema abarca las 7 primeras clases del programa correspondientes a la unidad temática  1.1 “Relación de inclusión entre el conjunto de los números naturales, enteros y racionales”.

Objetivos específicos

Primeramente debes tener claridad en los  objetivos específicos que los estudiantes deben lograr en este tema, los que se relacionan a continuación:

- Identificar  las  relaciones de inclusión y pertenencia en los conjuntos numéricos estudiados (N, Q+, Z, Q).

- Explicar el  significado de los números en diferentes contextos.

- Identificar el significado de  la posición y del valor posicional de las cifras en un número.

- Representar números racionales en la recta numérica.

- Comparar y ordenar números racionales en sus diferentes formas de representación y describir tendencias de los datos recopilados.

- Argumentar relaciones y propiedades de forma verbal, gráfica y numérica.

- Resolver operaciones simples y combinadas en que intervengan las seis  operaciones con números racionales, aplicar las propiedades de la adición y la multiplicación al cálculo operacional y realizar estimaciones.

- Resolver ejercicios en que se aplique el significado del tanto por ciento y por el tanto por mil así como los casos típicos de tanto por ciento.

- Formular y resolver problemas intra- y extramatemáticos, relacionados con la vida económica y social del país y con los contenidos de otras asignaturas, aplicando de forma integradora los conocimientos y habilidades sobre el orden y las operaciones con números naturales y fraccionarios, el tanto por ciento y el trabajo con magnitudes.

Materiales a consultar

Los contenidos de este tema, se encuentran incluidos  en el CC9, Capítulo 1 “El dominio de los números racionales” y en la primera parte del Capítulo 5 “Sistematización” del LT9. Además, para el tratamiento metodológico de los problemas puede consultar, las técnicas para la resolución de problemas aritméticos  que se encuentran en el libro “Aprende a resolver problemas aritméticos” de Celia Rizo  y Luis Campistrous  (Campistrous y Rizo, 1996).

Para la elaboración de las clases se dispone además de las video clases de las unidades  “El dominio de los números racionales” de noveno grado y  “Números con signos” de octavo grado.

Estructura interna

Conceptos

Relaciones

Procedimientos

Número racional.

Orden de los números racionales.

Operaciones con números racionales.

Razón, proporción, proporcionalidad, tanto por ciento.

 

 

Relación de inclusión entre los conjuntos numéricos. Relación de pertenencia.

Relaciones de orden en los números racionales.

Si  a – b < 0, entonces a < b  y si a – b > 0, entonces a > b.

Para a y b números racionales y  b  positivo se cumple que: Si  a/b < 1, entonces  a <  b;  si  a/b > 1,  entonces a > b.

 

Representar números racionales en la recta numérica.

Ordenar  y comparar números racionales en diferentes representaciones.

Calcular con números racionales en diferentes representaciones.

Estimar cálculos.

Resolver  ecuaciones.

Calcular tantos por ciento.

Medir, estimar, comparar, convertir y calcular con cantidades de magnitud.

 

 

TRATAMIENTO METODOLÓGICO DE  CONTENIDOS

Como vía metodológica para el tratamiento de este tema,  debe tenerse en cuenta que lo esencial es sistematizar las relaciones de inclusión y pertenencia en los distintos conjuntos numéricos, la relación de orden entre los números y la formulación y resolución de problemas, luego esta sistematización debe ser de forma activa, con la participación de los estudiantes.

Se recomienda, para la sistematización, la  planificación de  clases prácticas que exijan de la realización de hojas de trabajo, diseñadas de acuerdo con las dificultades de los estudiantes, los que se organizaran en dúos, tríos y por equipos. Las actividades que se desarrollan en las clases deben evidenciar el ordenamiento y la estructuración de los conocimientos que se sistematizan y lograr que los estudiantes reconozcan lo esencial de lo no esencial, de estos  contenidos.

En el análisis de los contenidos que se sistematizan, debe lograrse como resultado en los estudiantes el empleo de una lógica en la ampliación de los dominios numéricos y en su estructura, de modo que comprendan que cada uno de los conceptos, proposiciones y procedimientos estudiados, se integran y aplican  a la resolución de un problema más general relacionado con el estudio de una situación, hecho o fenómeno. Esto contribuye a garantizar el nivel de partida para la apropiación de los contenidos que se introducirán como nuevos.

Sistematización sobre los conjuntos numéricos.

La  sistematización de los conjuntos numéricos (N, Q+, Z y Q), puede iniciarse a partir de resaltar las necesidades que condujeron al surgimiento de los  números naturales y la ampliación al conjunto de los números fraccionarios, enteros y racionales. Se debe destacar los elementos que forman a cada uno de ellos y las relaciones de pertenencia e inclusión que se establecen,  ideas estas que servirán de base a la ampliación al conjunto de los números reales (R)  que se realizará en la unidad.

¡Importante!: precisar que la relación de pertenencia se establece de elemento a conjunto y la de inclusión entre conjuntos así como el uso correcto de los símbolos smbolos_conjuntos_elementospara establecer relaciones.

Un error frecuente que los estudiantes cometen es considerar que 5_subconjunto_Nes una proposición verdadera. Es necesario hacerles comprender a los estudiantes que para que sea verdadera  debe escribirse 5subconjunto_N ya que la relación de inclusión se establece entre conjuntos y {5} representa un conjunto cuyo elemento es el 5. También puede discutirse con los estudiantes que  otra forma en que podría ser verdadera la proposición es  5_pertenece_N. En este caso queda bien determinada la relación de pertenencia la que se establece de elemento a conjunto.

Otro error frecuente es N_pertenece_a__los_fraccionarios considerar como una proposición verdadera. Por las mismas razones expuestas hay que hacerles comprender a los estudiantes  que para ser verdadera debe ser N_subcojunto_Q. Se recomiendan realizar en clase los ejercicios 2 y 3 p.5 del CC9.

Se recomienda la utilización de fragmentos de las video clases, 2, 3  donde se establecen las relaciones entre los distintos conjuntos numéricos,  se explica  el porque de las relaciones de pertenencia e inclusión y se presentan variados tipos de ejercicios relacionados con el tema.

Para la sistematización de la estructura del sistema de numeración decimal  deberá partirse del análisis de  la estructura del sistema de numeración decimal. Se recomienda utilizar el resumen que se presenta en la p.5 del CC7. ¡Importante!: insistir con los estudiantes que para poder leer con mayor facilidad un número natural se deben separar de tres en tres cifras el número, comenzando por la derecha. Unido al tratamiento de la lectura y escritura de los números, recordar la denominación y valor posicional de las cifras en los números.

Un error frecuente que cometen los estudiantes es decir que el número 12 587 tiene 5 centenas, afirmación esta que es falsa pues confunden la cifra que ocupa el lugar de las centenas con la cantidad de centenas que tiene el número que en este caso es 125.

Se recomienda utilizar fragmentos de la video clase 4 donde se presentan otros sistemas de numeración  y se proponen ejercicios relacionados con la estructura del sistema de numeración decimal.

Se recordarán los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 8, 9 y10 y se propondrán ejercicios y problemas sobre ellos. Para la sistematización se recomienda utilizar fragmentos de la video clase 13 de 7mo grado y seleccionar ejercicios de los propuestos en las video clase 14 y 15 de 9no  grado.

La representación de los números en el rayo numérico deberá centrarse en la representación de los números racionales en sus diferentes formas de representación. Insistir en la representación de los números fraccionarios expresados como fracción común sin necesidad de transformarlo a expresión decimal. Se recomienda el análisis del ejemplo que aparece en la p.17 del CC7 en que se explica el modo de proceder en cada caso.

Comparación y orden de los números racionales en sus diferentes formas de representación para describir tendencias de los datos recopilados.

El orden de los números racionales se muestra a partir de la necesidad de establecer comparaciones para la interpretación de datos sobre fenómenos físicos, naturales y sociales, para lo que es necesario comprender la relación de orden existente entre los números. Se utilizarán tablas que demuestren indicadores de salud, educación, crecimiento económico, planes de producción industrial, agrícola, turístico y otros. Se recomienda utilizar fragmentos de la video clase 5.

Se sugiere utilizar los recuadros que aparecen en las páginas 1 y 2, el ejemplo 1, y los ejercicios del 5 al 9 de las pp.6y7  del CC9, también del epígrafe 1,2, los ejercicios 1, 2 y 4 del Cuaderno de ejercicios y tareas de Matemática  y del software educativo  “Elementos matemáticos” los ejercicios 1.1.2 al 1.1.4.

La  representación de números  racionales teniendo en cuenta su posición en la recta numérica constituye un recurso muy valioso para la comparación y el orden de los números.

Las propiedades de la relación de orden “menor o igual que” (≤) en el conjunto Q (reflexividad a ≤ a), antisimetría (a ≤ b y b ≤ a si y solo si a=b) y transitividad (si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c )), deben ilustrarse a los estudiantes en ejemplos concretos, sin mencionar el nombre de las referidas propiedades. De igual forma debe mostrarse la irreflexividad (a no es menor que a) y la transitividad de la relación “menor que” (<) en Q.

Incorporar el criterio del signo de la diferencia de dos números para decidir cuál de los dos es mayor: Si  a – b < 0, entonces a < b  y si a – b > 0, entonces a > b.

Incorporar el criterio del cociente para comparar números racionales:

Para a y b números racionales y  b  positivo se cumple que: Si  a/b < 1, entonces  a <  b;  si  a/b > 1,  entonces a > b.

Operaciones con números racionales. Problemas.

La sistematización de las operaciones con números racionales debe centrarse en la resolución de operaciones combinadas, se hará a partir del planteamiento de problemas en que se demuestre la necesidad de operar con números: en actividades de compra y venta, conteo de productos u otros objetos,  en situaciones relacionadas con la agricultura, la industria y otras esferas de la economía y la sociedad.

¡Importante!: destacar el orden en que se realizan las operaciones cuando estas aparecen en forma combinada, lo que puede ilustrarse con el ejemplo 2 de la p. 2 del LT7 (u otro similar).Se recomiendan proponer ejercicios como:

ejemplos_tema_1

 

 

Para la resolución de la operación que se recomienda en el inciso d) destacar la necesidad de transformar 0,3 a fracción decimal y operar como fracciones comunes ya que de trasformar menos_un_tercioa expresión decimal y ser esta una expresión decimal infinita periódica, el resultado se altera y no es exacto pues tendría que calcularse ejemplo_2_tema_1 lo que conlleva a que el resultado final de la operación  fuese una expresión infinita.

Para el repaso de las propiedades conmutativa y asociativa de la adición y la multiplicación, y la distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, es esencial recordar su formulación  empleando variables y aplicarlas para el cálculo ventajoso.

Es necesario destacar que al resolver ejercicios como 3 + 8,2 + 4 + 1,8 se puede calcular reordenando y/o agrupando los sumandos en la forma que resulte más ventajoso realizar el cálculo.

Resolver ejercicios como:

a) Dados los números a = ; b = 6; c = 3; d = 1,5; calcula: b + a • c;  a • d;fraccion

b) Calcula la tercera parte de la suma de P y Q donde P = 114 – 50 : 52 y Operacion_con_fracciones

También se recomienda el ejercicio  24 de la p. 30 del CC9 en que se dan valores a las variables.

Se recomienda realizar los ejercicios 26 y 27 del CC9 p.11 y utilizar fragmentos de la video clase 7 para el tratamiento de problemas,

OBJETIVOS A EVALUAR

En este tema se pueden evaluar los siguientes objetivos:

1. Identificar  las  relaciones de inclusión y pertenencia en los conjuntos numéricos estudiados (N, Q+, Z, Q).

2. Identificar el significado de  la posición y del valor posicional de las cifras en un número.

3. Representar números racionales en la recta numérica.

4. Comparar y ordenar números racionales en sus diferentes formas de representación y describir tendencias de los datos recopilados.

5. Argumentar relaciones y propiedades de forma verbal, gráfica y numérica.

6. Resolver operaciones simples y combinadas en que intervengan las seis  operaciones con números racionales, aplicar las propiedades de la adición y la multiplicación al cálculo operacional y realizar estimaciones.

7. Resolver ejercicios en que se aplique el significado del tanto por ciento y por el tanto por mil así como los casos típicos de tanto por ciento.

8. Formular y resolver problemas intra- y extramatemáticos, relacionados con la vida económica y social del país y con los contenidos de otras asignaturas, aplicando de forma integradora los conocimientos y habilidades sobre el orden y las operaciones con números naturales y fraccionarios, el tanto por ciento y el trabajo con magnitudes.


VOCABULARIO

El vocabulario que te presentamos a continuación contiene las palabras más utilizadas en este tema y en las cuales los estudiantes  tienen tendencia a escribirlas con faltas de ortografía, por lo que se requiere una labor atenta  con este vocabulario en las diferentes actividades que programe (dictados, buscar en el diccionario el significado común y compararlo con el significado matemático).

número

suma

multiplicación

sustracción

adición

división

fracción

recíproco

racional

proposición

factores

subconjunto

recta numérica

efectúa

pertenece

cálculo

resuelve

inclusión

algoritmo

proporciones

milésimas

décimas

centésimas

pertenece


OTROS RECURSOS
Propuesta de ejercicios y problemas a incluir en el sistema de clases
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