Factorización
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El área de un rectángulo viene dada por la expresión x2 – 7x + 6. Determina las expresiones correspondientes a sus lados en función de x.
El área de un rectángulo es igual al producto de su largo y su ancho, o sea, A = l . a . Para dar respuesta a este ejercicio debemos expresar como producto la expresión dada. Al procedimiento que permite expresar sumas en productos se le denomina factorización o descomposición factorial y será tema de estudio en este epígrafe.
Sumario
- - Extracción del factor común
- - Diferencia de dos cuadrados
- - Trinomio cuadrado perfecto
- - Trinomio x2 + px + q
- - Trinomio mx2 + px + q
- - Actividades de continuidad
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Como ya conoces aplicando la propiedad distributiva realizas sin dificultades este ejercicio que se muestra a la derecha: Observa que en todos los casos multiplicamos un monomio por un polinomio. Pero cómo realizar el procedimiento inverso, o sea, cómo expresar los resultados obtenidos en sumas. Precisamente a este procedimiento se le denomina extracción del factor común. Este procedimiento consiste en extraer un factor que se repita en cada uno de los sumandos, el cual puede ser un número (como en el primer caso), una variable o varias (como en el segundo caso) o una combinación de número y variables (como en el tercer caso).
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Observa en el siguiente recuadro que el factor común numérico es el mayor divisor de los divisores comunes de los coeficientes, siempre que sea diferente de 1, y en el caso de las variables, se extrae la de menor exponente. El factor que queda después de la extracción del factor común se obtiene dividiendo cada término del polinomio por dicho factor común. |
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DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
Para comprenderlo mejor este caso debes remitirte al producto notable (a + b)(a – b) = a2 – b2 , el cual aplicamos en la resolución del siguiente ejercicio.
Observa que en cada caso obtenemos el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
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Luego, para aplicar el procedimiento inverso, procedemos como se muestra a continuación en el siguiente recuadro: hallamos las raíces cuadradas de cada término del binomio y planteamos el producto de su suma por su diferencia. Es necesario que sepas que la suma de dos cuadrados, por ejemplo x2 + 16, nunca tiene factorización. Sin embargo, x2 – 7 se puede factorizar aunque 7 no tenga raíz cuadrada exacta, ya que se puede expresar como el producto de (x + )(x – ). |
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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Al resolver este ejercicio del recuadro debes desarrollar los binomios al cuadrado, para ello aplicamos los productos notables cuadrado de una suma y de una diferencia y obtenemos la siguiente respuesta:
Observa que siempre el resultado es un trinomio, al cual se le denomina trinomio cuadrado perfecto.
Para factorizar ahora los trinomios obtenidos procedemos a la inversa: Determinamos la raíz cuadrada de cada término elevado al cuadrado y comprobamos que el término central es el doble producto de los mismos, en este caso el resultado sería la suma o la diferencia de dichos términos.
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Observa que la respuesta es el cuadrado de un binomio, ya sea una suma o una diferencia. El procedimiento de hallar las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados perfectos y la comprobación de que su doble producto es igual al término central del trinomio, no es necesario que se haga de forma escrita. El signo del binomio resultante coincide con el del término central del trinomio.
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TRINOMIO DE LA FORMA x2 + px + q
Al resolver el ejercicio del recuadro debes efectuar los productos indicados, para ello aplicamos el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab y obtenemos la siguiente respuesta: Observa que siempre el resultado es un trinomio, el cual está formado por el cuadrado del término común, la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común y el producto de los términos no comunes. |
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Para factorizar ahora los trinomios obtenidos procedemos a la inversa: determinamos la raíz cuadrada del término elevado al cuadrado y buscamos dos números cuyo producto sea igual al término independiente (q) y la suma algebraica de los mismos sea igual al coeficiente del término central (p).
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En el siguiente recuadro a la derecha aparece el resultado de la factorización: Observa en el recuadro que la respuesta es el producto de dos binomios, precisamente los que multiplicaste al expresar los productos anteriores en sumas. Además, presta atención que si el término independiente del trinomio es positivo, los signos de los dos binomios son iguales y dependen del signo del término central del trinomio. |
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Por otra parte, si el término independiente del trinomio es negativo, los signos de los dos binomios son diferentes y debes tener cuidado cuál de los factores hallados colocas detrás de cada signo. |
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TRINOMIO DE LA FORMA mx2 + px + q, (m ¹ 1)
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Al resolver el ejercicio del recuadro debes efectuar los productos indicados, para ello aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos la siguiente respuesta: Como puedes observar, los trinomios obtenidos son de la forma mx2 + px + q y los coeficientes m, p y q se obtienen como muestra el recuadro de la izquierda: De modo general se cumple: (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd = mx2 + px + q, donde m = ac , q = bd y p = ad + bc.
Por lo tanto, siempre que sea posible determinar los números a, b, c y d, tales que ac = m , bd = q y ad + bc = p se cumple: mx2 + px + q = (ax + b)(cx + d) |
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Para determinar estos números se aplica el procedimiento siguiente llamado método de los productos cruzados o
de los coeficientes:
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Veamos en el ejemplo de la izquierda cómo aplicarlo en un ejercicio concreto: Al efectuar la factorización de estos trinomios, aplicando dicho procedimiento, se obtiene la respuesta que se muestra.
Observa en el segundo y tercer inciso que hay términos como el 4 y el 6, que tiene más de una combinación para buscar los factores, por lo que debemos ensayar con cuidado colocando el signo adecuado a cada uno de ellos. |
Es de gran importancia tomar en cuenta las siguientes indicaciones:
- al buscar los factores de cada término de los extremos, trata de colocar positivos los correspondientes al primer término y variar solo los del segundo.
- analizar con cuidado la regla de los signos en el segundo factor.
- al colocar la respuesta se hace con los términos que están colocados horizontalmente, y no de manera cruzada.
Los trinomios cuadrado perfecto y de la forma x2 + px + q se pueden factorizar aplicando el método de los productos cruzados, ya que son casos particulares del trinomio mx2 + px + q, cuando m = 1.Después de aprender cómo factorizar cada uno de los casos estudiados, es importante que prestes atención a la factorización combinada, o sea, descomponer una expresión algebraica aplicando más de un caso.
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En el siguiente ejemplo se muestra un ejercicio con estas características: En el inciso a, se combina el factor común y la diferencia de dos cuadrados. En el inciso b, se combina el factor común y el trinomio cuadrado perfecto. En el inciso c, combinamos el factor común con el trinomio de la forma mx2 + px + q. Por último en el inciso d, se combina la factorización de un trinomio y una diferencia de cuadrados. |
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En este caso el trinomio se denomina bicuadrático, ya que la variable en el primer término está elevada a exponente cuatro; y se puede factorizar de esta manera ya que el exponente del término central es la mitad del exponente de la variable en el primer término.
Al factorizar expresiones donde se combine más de un caso, siempre se investigará primero la existencia o no de un factor común, y luego se analizará si la expresión resultante es un binomio o un trinomio.
A continuación en el siguiente recuadro se resumen los pasos a seguir:
Recuerda:
- -La factorización nos permite transformar sumas en productos.
- -Al factorizar trinomios se puede utilizar siempre el método de los productos cruzados, es un método general.
- -Al factorizar se debe verificar primero la existencia o no de un factor común y luego analizar si la expresión es un binomio o un trinomio.
-Al buscar los signos de los factores en los binomios, al factorizar trinomios, ten en cuenta que:
1. Si el término independiente es positivo, los signos de los factores son iguales y dependen del signo del término central.
2. Si el término independiente es negativo, los signos de los factores son diferentes, uno más y otro menos; y se le coloca el factor mayor el signo que se encuentra en el término central del trinomio.
· No siempre es posible expresar las sumas como productos, en ese caso se dice que la expresión no tienen factorización.
ACTIVIDADES DE CONTINUIDAD
1. Expresa como producto las siguientes expresiones:
a) x2 + 5x b) 4x + 12 c) 10m2 – 5m d) 2xy2 + 4x2y e) – 3x – 15
f) x2 – 9 g) m2 – 0,64 h) a2b2 – 100 i) – 0,25 j) x2 + 1
k) x2 + 2x + 1 l) p2 – 6p + 9 m) 4x2 – 12x + 9 n) b2 – 14b + 49 ñ) x2 + 3x + 2
o) x2 + 10x – 11 p) p2 – 6p – 7 q) a2 – 6a + 8 r) x2 + 7x + 1 s) 3x2 + 10x + 3
t) 5x2 + 9x – 2 u) 3x2 – 8x – 3 v) 6x2 – 19x + 3
2. Factoriza completamente las siguientes expresiones:
a) x3 – 4x b) 6y2 – 6 c) p3 – 8p2 + 7p d) 8m2 – 48m + 72
e) 2n3 + 14n2 + 12n f) 3y4 – 3 g) x5 – 13x3 + 36x
3. Calcula, simplifica y factoriza los resultados obtenidos.
a) (3x – 6) – (x – 3)2 + 30
b) (x2 + 2)2 – 2x(x + 1) – (7 – 2x)
c) x3(x2 + 2) – (x3 + 2x + 1) + d)
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Otros recursos |
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