Ejercicios resueltos
Observa y analiza los diferentes ejercicios resueltos que a continuación se muestran, donde se aplican las relaciones y operaciones descritas anteriormente.
: Ejercicio 1
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Argumenta en cada caso tu selección.
a) ___ 
.
R/ Falso. El conjunto de los números reales está compuesto por los números racionales y los irracionales, a este último pertenece la raíz indicada.
b) ___ 
.
R/ Verdadero. Las expresiones decimales infinitas periódicas son números fraccionarios.
c) ___ 
.
R/ Falso. Como 6 está dentro de una llave, representa un conjunto unitario y entre dos conjuntos no se utiliza el símbolo de pertenencia.
d) ___ 
.
R/ Falso. 3,14 no es una expresión decimal infinita no periódica, por lo que no es un número irracional. No confundir con el número pi.
e) ___ 
R/ Falso. Entre dos conjuntos no se utiliza el símbolo de pertenencia, sino el de inclusión o subconjunto.
f) ___ 
=
R/ Verdadero. Los elementos comunes de ambos conjuntos son los enteros no negativos, o sea los naturales.
g) ___ 
.
R/ Verdadero Todos los números racionales son números reales.
h) ___ 
R/ Verdadero. Los conjuntos de los números irracionales y los racionales no tienen elementos comunes.
i) ___ 0.
R/ Falso. El cero no es una expresión decimal infinita no periódica.
j) ___ Si 
, entonces
.
R/ Falso. La
no es un número racional.
: Ejercicio 2.
Completa utilizando los símbolos ; 
; ; , de forma tal que se obtenga una proposición verdadera.
a) 8,3 ___ .
b) – 3 ___
c) ____
d) ___
e) 
___
f) 
____
g) 
____
R/ a) . b) . c) . d) . e) . f) . g) .
Nota: Recuerda que entre un número y un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia, mientras que entre dos conjuntos se utiliza el de inclusión.
: Ejercicio 3
Selecciona el conjunto numérico más restringido al que pertenecen los números siguientes.
a) – 0,67.
R/ Este número es una expresión decimal negativa, luego pertenece ay a, pero el más restringido es .
b)
.
R/ Este número es una expresión decimal infinita no periódica, ya que 8 no es un cuadrado perfecto. Luego, pertenece ay a, pero el más restringido es.
c)
.
R/ Este número es una fracción positiva, luego pertenece a; ay a, pero el más restringido es.
d) 100
R/ Este número es entero positivo, luego pertenece a;;;y, pero el más restringido es.
e)
.
R/ Este número es una fracción negativa, luego pertenece ay a, pero el más restringido es .
f) 
R/ Este número es una expresión decimal infinita periódica, luego pertenece a,y , pero el más restringido es.
g)
.
R/ Este número conduce a una fracción positiva, luego pertenece a; ay a, pero el más restringido es.
h) – 52.
R/ – 52 = – 25. Este número es un entero negativo, luego pertenece a, y, pero el más restringido es.
i) log0,0001.
R/ log0,0001 = – 4. Este número es un entero negativo, luego pertenece a, y, pero el más restringido es.
j) 
.
= 2. Este número es entero positivo, luego pertenece a;;;y, pero el más restringido es.
: Ejercicio 4
Sean los conjuntos A =
y B =
. Determina:
a)
.
Solución:
Para realizar este inciso, debes tener en cuenta el significado de la operación unión[1] y que π no es igual a 3,14.
= 
.
b)
.
Solución:
Para realizar este inciso, debes tener en cuenta el significado de la operación intersección[2].
= 
.
c)
.
Solución:
Para realizar este inciso, debes tener en cuenta el significado de la operación diferencia[3] y el orden en que aparecen los conjuntos.
=
d)
.
Solución:
Para realizar este inciso, debes tener en cuenta el significado de la operación diferencia[3] y el orden en que aparecen los conjuntos.
=
.
: Ejercicio 5
Dados los conjuntos P =
y Q =
. Determina:
a) 
b)
c)
.
d)
.
e) Si el conjunto universo U está compuesto por los números reales, determina el conjunto Pc complemento de P.
Solución: a) Para resolver este ejercicio, a diferencia del anterior, debes realizar la representación gráfica de cada conjunto en una misma recta numérica. De esta representación, puedes obtener todos las operaciones que se te piden. Para determinar el conjunto unión, debes analizar qué número queda más a la izquierda en la recta y cuál a la derecha.
El conjunto unión está compuesto por todos los números reales que están a la izquierda de 8, sin incluirlo. R/ |  |
Solución: b) Para determinar el conjunto intersección, debes analizar dónde coinciden las representaciones de ambos conjuntos.
El conjunto intersección está compuesto por todos los números reales que están comprendidos entre – 2 y 5, incluyendo al 5. R/ |  |
Solución: c) Para determinar el conjunto diferencia, debes analizar qué conjunto está a la izquierda y cuál a la derecha. Además tomar los elementos del primero que no sean elementos del segundo.
R/ |  |
Solución: d) Para determinar el conjunto diferencia, debes tomar los elementos Q que no sean elementos de P.
R/ |  |
Solución:
e) Pc = {
: x > 5}
Como el conjunto universo está formado por los números reales y P está formado por los reales menores o iguales que 5, entonces para completar el conjunto U se deben tomar los reales a la derecha de 5, que no se incluye, pues ya está contenido en P.
: Ejercicio 6
Sean A =
y B = (0 ; ∞). Determina:
a).
b).
c) .
d) .
e) 
.
Solución:
Para dar solución a este ejercicio,debes representar en una misma gráfica los conjuntos dados.
El conjunto A está formado por los números reales cuyo módulo es menor o igual que 5. Esta condición la cumplen los números situados
desde – 5 hasta 5.
El conjunto B está formado por los números reales que están a la derecha del 0.
Ahora debes colocar ambos conjuntos sobre la misma recta y responder cada uno de los incisos del ejercicio:
Solución: a) Para determinar el conjunto unión, debes analizar qué número queda más a la izquierda en la recta y cuál a la derecha.
El conjunto unión está compuesto por todos los números reales que están a la derecha de – 5, incluido. R/ |  |
Solución: b) Para determinar el conjunto intersección, debes analizar dónde coinciden las representaciones de ambos conjuntos.
El conjunto intersección está compuesto por todos los números reales que están comprendidos entre 0 y 5, incluyendo al 5. R/ |  |
Solución: c) Para determinar el conjunto diferencia, debes analizar qué conjunto está a la izquierda y cuál a la derecha. Además tomar los elementos del primero que no sean elementos del segundo.
R/ |  |
Solución: d) Para determinar el conjunto diferencia, debes tomar los elementos B que no sean elementos de A.
R/ |  |
Solución:
e) Ac = {: x < – 5 o x > 5}
El conjunto A está formado por los números reales de – 5 a 5, luego para completar el conjunto universo se deben tomar los números reales a la izquierda de – 5 y a la derecha de 5, lo que completa la recta real.
: Ejercicio 7
Sea el conjunto
. Escribe los elementos de los conjuntos:
a) 
.
Solución:
Para escribir los elementos de cada conjunto, debes analizar y comprender las dos condiciones que se plantean.
Los elementos del conjunto B, deben ser elementos del conjunto A, pero solo los naturales.
Ten en cuenta que la raíz cuadrada de 9 es 3.
b)
.
Solución:
Los elementos del conjunto C, deben ser elementos del conjunto A, pero no pueden ser números enteros.
Ten en cuenta que 
.
c) 
.
Solución:
Los elementos del conjunto D, deben ser elementos del conjunto A, pero racionales.
Ten en cuenta que la raíz cúbica de 2 es un número irracional.
d)
.
Solución:
Los elementos del conjunto E, deben ser elementos del conjunto A, pero que no sean racionales, o sea, deben ser irracionales. El único elemento irracional en A es el indicado, ya que dicha raíz no es exacta.
: Ejercicio 8
Sean los conjuntos R =
y P: Conjunto formado por los números cuadrados perfectos menores o iguales que 121.
Determina:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
Solución:
El conjunto R está formado por los números: – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14.
El conjunto P está formado por los números: 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121.
a) Recuerda el significado de la operación unión[1].
= {– 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121}
b) Recuerda el significado de la operación intersección[2].
= {0 ; 1 ; 4 ; 9}
c) Recuerda el significado de la operación diferencia[3].
= {– 2 ; – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14}
d) Recuerda el significado de la operación diferencia[3].
= {16; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121}
El trabajo con los conjuntos se aplica también a la resolución de problemas aritméticos. A continuación te mostramos algunos ejemplos.
: Ejercicio 9
En una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su preferencia por el deporte se obtuvo que a 55 les gusta el Fútbol y el Béisbol, a 85 les gusta el Béisbol, a 80 el Fútbol y a 15 no les gusta ninguno de los dos deportes.
a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b) ¿A cuántas personas les gusta solo el Fútbol?
Solución: a) Para resolver este tipo de problema es conveniente auxiliarse de un diagrama de Venn. Trazas dos conjuntos superpuestos y a uno lo denominas F y al otro B, de donde: F: Conjunto formado por las personas a las que les gusta el Fútbol. B: Conjunto formado por las personas a las que les gusta el Béisbol. Para llenar el diagrama debes proceder de adentro hacia afuera: 1. El 55 se coloca en la intersección de los conjuntos F y P, ya que es el número de personas a los que les gustan ambos deportes. 2. Hay 80 personas a las que le gusta el Fútbol, y en el conjunto F ya hay colocados 55 de ellos, luego en la parte no común colocas el resultado de calcular 80 – 55 = 25. 3. Hay 85 personas a las que le gusta el Béisbol, y en el conjunto B ya hay colocados 55 de ellos, luego en la parte no común colocas el resultado de calcular 85 – 55 = 30. 4. Hay 15 personas a las que no les gusta ninguno de los dos deportes. Colocas este número fuera de los conjuntos F y P. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, adicionas todos los números colocados en el diagrama: 25 + 55 + 30 + 15 = 125 R/ Fueron encuestadas 125 personas. |  |
b) R/ Del diagrama puedes concluir que hay 25 personas a las que solo les gusta el Fútbol.
: Ejercicio 10
En una escuela se realizó una encuesta a 98 estudiantes sobre la preferencia por tres idiomas, el Inglés, el Francés y el Chino. El resultado arrojó los resultados siguientes:
a 10 estudiantes les gustan los tres idiomas.
a 18 estudiantes les gusta el Inglés y el Francés.
a 13 estudiantes les gusta el Chino y el Francés.
a 15 estudiantes les gusta el Inglés y el Chino.
a 45 les gusta el Inglés.
a 41 les gusta el Francés.
a 36 les gusta el Chino.
¿A cuántos de los encuestados no les gusta ninguno de esos tres idiomas?
Solución: Trazas tres conjuntos superpuestos y los denominas I ; F y C, de donde: I: Conjunto formado por los estudiantes a los que les gusta el Inglés. F: Conjunto formado por los estudiantes a los que les gusta el Francés. C: Conjunto formado por los estudiantes a los que les gusta el Chino. Para llenar el diagrama debes proceder de adentro hacia afuera: 1. El 10 se coloca en la intersección de los tres conjuntos, ya que es el número de personas a las que les gustan los tres idiomas. 2. Hay 18 estudiantes a las que le gusta el Inglés y el Francés, pero ya en ambos conjuntos hay colocados 10 de ellos. En la intersección de los conjuntos I y F colocas el resultado de calcular 18 – 10 = 8. 3. Hay 13 estudiantes a los que les gusta el Chino y el Francés, pero ya en ambos conjuntos hay colocados 10 de ellos. En la intersección de los conjuntos C y F colocas el resultado de calcular 13 – 10 = 3. 4. Hay 15 estudiantes a los que les gusta el Inglés y el Chino, pero ya en ambos conjuntos hay colocados 10 de ellos. En la intersección de los conjuntos I y C colocas el resultado de calcular 15 – 10 = 5. 5. Hay 45 estudiantes que gustan del Inglés, pero en el conjunto correspondiente a este idioma ya hay colocados 23 (10 + 8 + 5), luego calculas 45 – 23 = 22, que va colocado en la parte no común con ninguno de los otros dos conjuntos. 6. Hay 41 estudiantes que gustan del Francés, pero en el conjunto correspondiente a este idioma ya hay colocados 21(10 + 8 + 3), luego calculas 41 – 21 = 20, que va colocado en la parte no común con ninguno de los otros dos conjuntos. 7. Hay 36 estudiantes que gustan del Chino, pero en el conjunto correspondiente a este idioma ya hay colocados 18 (10 + 5 + 3), luego calculas 36 – 18 = 18, que va colocado en la parte no común con ninguno de los otros dos conjuntos. Para saber a cuántos estudiantes no les gusta ninguno de los tres idiomas, adicionas los números colocados en el diagrama y lo sustraes del total de encuestados: 22 + 8 + 20 + 10 + 5 + 3 + 18 = 86 98 – 86 = 12 R/ No les gusta ninguno de los tres idiomas a 12 estudiantes. |  |
