Ecuaciones Cuadráticas

Determina cuáles de la ecuaciones siguientes son cuadráticas.

a)

b)

c)

d)

e)

Solución:

Antes de responder debes recordar que: Las ecuaciones cuadráticas se caracterizan porque el mayor exponente de la variable de la ecuación reducida es dos.

a) Sí, pues el mayor exponente de la variable es dos.

b) No, pues el mayor exponente de la variable es tres.

c) No, pues al efectuar las operaciones indicadas y reducir la ecuación, el mayor exponente de la variable en la ecuación resultante es uno.

d) Sí, pues al efectuar las operaciones indicadas y reducir la ecuación, el mayor exponente de la variable en la ecuación resultante es dos.

e) No, pues al efectuar las operaciones indicadas y reducir la ecuación, el mayor exponente de la variable en la ecuación resultante es uno.

Resuelve la ecuación

Solución:

(Aplicas el producto notable producto de dos binomios con un término común^[1])

(Igualas a cero y reduces los términos semejantes)

(Factorizas el binomio aplicando la extracción del factor común^[2])

(Igualas a cero cada factor)

(Despejas la variable en cada ecuación)

(Escribes el conjunto solución)

¿Para qué valores reales de  se cumple que ?

Solución:

(Aplicas la propiedad distributiva^[3] y la regla para eliminar el paréntesis precedido de signo menos^[4])

(Igualas a cero y reduces los términos semejantes)

(Factorizas el trinomio obtenido^[5])

(Igualas a cero cada factor)

(Despejas la variable en cada ecuación)

R/ La proposición dada se cumple para .

Determina cuántas soluciones tiene la ecuación .

Solución:

Recuerda que para saber cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática, basta con hallar el discriminante.

De la ecuación obtienes que ; y .

R/ Como el discriminante es menor que cero (), entonces la ecuación no tiene soluciones reales.

Halla el conjunto solución de la ecuación x² – 64x + 768 = 0.

Solución:

Como puedes apreciar, este trinomio no es fácil factorizarlo a simple vista. En este caso puedes acudir a la fórmula general de resolución^[6] de estas ecuaciones.

• Primero hallas el discriminante, para ver si tiene solución.

  

  De la ecuación obtienes que ; y

  

  Como el discriminante es mayor que cero () la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

• Aplicamos la fórmula general:

  

  

  

  y

• Escribes el conjunto solución:

  

Resuelve la ecuación .

Solución:

• Primeramente expresas la ecuación en la forma general, o sea, igualas la ecuación a cero:

  

  A simple vista no encuentras los factores del trinomio obtenido a pesar de que ahora los coeficientes son números pequeños.

• Hallas el discriminante para ver si tiene solución o no.

  

  De la ecuación obtienes que ; y .

  

  Como el discriminante es mayor que cero (), la ecuación tiene tiene dos soluciones reales diferentes.

• Aplicas la fórmula general:

  

  

  

  

  

R/ Las soluciones de la ecuación son .

Determina los ceros de la función definida en los reales por la ecuación .

Solución:

Debes tener en cuenta el concepto cero de una función^[7], igualas la función a cero (dando valor cero a la ) y determinas los valores de :

(Factorizas el trinomio)

(Igualas a cero cada factor)

(Despejas la variable en cada ecuación)

R/ Los ceros de la función son y .

Determina los valores inadmisibles de la expresión  .

Solución:

Para dar respuesta a este ejercicio debes recordar a qué llamamos valores inadmisibles de una expresión algebraica^[8].

• La expresión dada es una fracción algebraica, por tanto el denominador no puede ser igual a cero.

  Luego, para hallar los valores inadmisibles de esta expresión debes buscar los valores de la variable que hacen cero al denominador.

  (Igualas el denominador a cero)

  (Factorizas el binomio)

  (Igualas a cero cada factor)

  (Despejas la variable en cada ecuación)

R/ Los valores inadmisibles de la expresión son y .

Determina las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones y .

Solución:

Para hallar las coordenadas de los puntos de intersección de ambas gráficas debes proceder de la siguiente manera:

• Calculas las abscisas de los puntos de intersección, para ello debes igualar las ecuaciones de ambas funciones y resolver la ecuación obtenida.

  (Igualas las ecuaciones de y )

  (Transpones y reduces los términos semejantes)

  (Factorizas el trinomio cuadrado perfecto^[9] obtenido)

  (Hallas el valor de la variable)

Como obtuviste un único valor de , existe un punto de intersección entre los gráficos de ambas funciones. Ahora para completar el par ordenado, debes hallar la ordenada.

• Para hallar el valor de la ordenada, sustituyes en la ecuación más sencilla la por 2:

  

R/ Las gráficas de las funciones y  se cortan en el punto de coordenadas .

En un triángulo rectángulo de hipotenusa igual , la longitud de un cateto excede en a la longitud del otro. Calcula el área del triángulo.

Solución:

Observa que te dicen que la longitud de la hipotenusa es , te dan además la relación existente entre las longitudes de los catetos. Te piden determinar el área del triángulo rectángulo^[10], por tanto necesitarás conocer las longitudes de cada cateto.

• Como la longitud de un cateto excede en a la longitud del otro, puedes hacer la declaración de variable de esta manera:

  Longitud del cateto menor:

  Longitud del cateto mayor:

• Puedes formar la ecuación a partir del teorema de Pitágoras^[11], que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

  (Aplicas el teorema de Pitágoras)

  (Efectúas el cuadrado del binomio^[12])

  (Transpones al miembro izquierdo el 100)

  (Reduces y divides la ecuación obtenida por 2)

  

  (Factorizas el trinomio resultante)

  (Igualas cada factor a cero)

  (Despejas la variable en cada ecuación)

• Los números y son soluciones de la ecuación cuadrática resuelta, pero en nuestro problema la solución solo puede ser , ya que es la longitud de un cateto del triángulo por lo que no puede tomar valor negativo.

  Luego la longitud del cateto menor es y la del mayor, .

Ahora procedes a calcular el área pedida:

R/ El área del triángulo es de .

Dos ciclistas se entrenaban para una competencia y en ese momento la suma de los cuadrados de sus pesos era igual a . Se conoce que uno de los ciclistas pesaba más que el otro.

Finalmente uno de los ciclistas no pudo participar en la competencia. Durante el evento el ciclista participante bajó de peso la misma cantidad de kilogramos que aumentó el ciclista que no participó, alcanzando así ambos el mismo peso.

Calcula el peso de los ciclistas después de celebrada la competencia.

Solución:

• Como uno de los ciclistas pesaba más que el otro, puedes hacer la declaración de variables de esta manera:

  Peso de un ciclista:

  Peso del otro ciclista:

• De la información que la suma de los cuadrados de sus pesos era igual a , obtienes la ecuación:

  

  (Efectúas el cuadrado del binomio)

  (Igualas a cero la ecuación y reduces los términos semejantes)

  (Divides la ecuación por 2)

  (Factorizas el trinomio obtenido)

  (Igualas cada factor a cero)

  (Despejas en cada ecuación)

• La ecuación tiene dos soluciones pero como el peso de una persona no puede ser negativo, tomas solo la positiva.

  Luego, antes de la competencia un ciclista pesaba y el otro .

• La pregunta del problema es el peso de cada uno después de la competencia, para ello debes utilizar la información: durante el evento el ciclista participante bajó de peso la misma cantidad de kilogramos que aumentó el ciclista que no participó, alcanzando así ambos el mismo peso.

  Para responder esta pregunta, hallas la diferencia de los pesos antes de la competencia y divides por 2 el resultado:

  

  

  Esto significa que el ciclista de menor peso aumentó y el de mayor peso bajó .

R/ Después de celebrada la competencia los ciclistas pesan .

La longitud del largo de un rectángulo es mayor en que la de su ancho y el lado de un cuadrado tiene doble longitud que el ancho del rectángulo.

Si la superficie del cuadrado representa el triplo de la superficie del rectángulo, determina la razón entre los perímetros del rectángulo y el cuadrado.

Solución:

En este problema resulta conveniente plasmar los datos sobre una figura de análisis como se muestra.

• A partir de la segunda información la superficie del cuadrado representa el triplo de la superficie del rectángulo, puedes plantear la ecuación:

  

  (Efectúas el cuadrado y eliminas el paréntesis del miembro derecho)

  (Igualas la ecuación a cero)

  (Reduces los términos semejantes)

  (Extraes el factor común)

  (Igualas a cero cada factor )

  (Despejas la variable en cada ecuación)

• Como la longitud de los lados no puede ser cero, solo tomas como respuesta lógica el 6.

  Luego, la longitud del ancho del rectángulo es , la de su largo, y la longitud del lado del cuadrado es .

• Para dar respuesta a la pregunta del problema, necesitas hallar el perímetro del rectángulo^[13] y el perímetro del cuadrado^[14]:

  

  

  Hallas la razón indicada:

  

R/ La razón entre los perímetros del rectángulo y el cuadrado es .