Ecuaciones fraccionarias

Resuelve la ecuación .

Solución:

Esta ecuación se puede resolver por tres vías diferentes, en cada una de las vías te indicaremos los pasos que debes seguir.

Primera vía: Aplicando propiedad fundamental de las proporciones

• Buscas los valores inadmisibles:

• Aplicas la propiedad fundamental de las proporciones^[1]

  

  

• Resuelves la ecuación obtenida

  (Aplicando la propiedad distributiva^[2])

  (Transponiendo los términos semejantes a cada miembro)

  . (Reduciendo los términos semejantes)

• Compruebas que la solución no coincide con el valor inadmisible.

• Escribes el conjunto solución.

Segunda vía: Igualando a cero la ecuación

• Igualas a cero la ecuación

  

  

• Resuelves la operación indicada

  (Hallando el mcm de los denominadores y ampliando los numeradores)

  (Eliminando el paréntesis)

  (Reduciendo los términos semejantes en el numerador)

• Igualas a cero el numerador de la fracción algebraica obtenida.

  

  (Despejas la variable)

• Compruebas que la solución no hace cero a ninguno de los denominadores de la ecuación original.

• Escribes el conjunto solución.

Tercera vía: Eliminando los denominadores

• Valor inadmisible: .

• Determinas el mcm de los denominadores .

• Multiplicas toda la ecuación por el mcm de los denominadores, o sea .

  

  

• Resuelves la ecuación obtenida.

  

  (Aplicando la propiedad distributiva)

  (Transponiendo los términos semejantes a cada miembro)

  (Reduciendo los términos semejantes)

• Compruebas que la solución no coincide con el valor inadmisible.

• Escribes el conjunto solución.

NOTA: Observa además que en la primera y tercera vías se utiliza para la comprobación , la comparación de la solución obtenida con el valor inadmisible determinado al inicio; sin embargo, en la segunda vía en que no hallamos los valores inadmisibles, compruebas que la solución no hace cero a ninguno de los denominadores de la ecuación original.

Halla el conjunto solución de la ecuación .

Solución:

En este caso la ecuación tiene tres términos, por lo que no puedes aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Puedes aplicar cualquiera de las otras dos vías, aunque lo más racional en este caso es eliminar los denominadores.

• Valor inadmisible: .

• mcm: .

• (Multiplicas la ecuación por )

• 

  (Eliminas el paréntesis precedido de signo menos)

  (Transpones los términos semejantes)

  (Reduces los términos semejantes)

  (Despejas la variable)

  (Efectúas la división indicada)

Como 2 no hace cero a ninguno de los denominadores, escribes el conjunto solución .

Determina para qué valores de x se cumple que .

Solución:

En este caso la ecuación tiene tres términos, por lo que no puedes aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Lo más racional en este caso es eliminar los denominadores.

• Valores inadmisibles: .

• Para hallar el mcm de los denominadores, debes factorizar el denominador de la fracción en el miembro derecho.

  

  m.c.m:

• (Multiplicas la ecuación por el mcm)

• 

  (Eliminas los paréntesis)

  (Transpones los términos semejantes)

  (Reduces términos semejantes)

  (Despejas la variable)

  (Efectúas la división)

El valor no hace cero a ninguno de los denominadores de la ecuación original.

R/ La igualdad se cumple para .

Sea la función definida por la ecuación . Determina su cero.

Solución:

Para hallar el cero de una función^[3], igualas la ecuación a cero y resuelves la ecuación obtenida.

Para resolver esta ecuación puedes proceder de dos maneras:

1ra vía: Eliminando denominadores

• Multiplicas la ecuación por el mcm de los denominadores teniendo en cuenta los valores inadmisibles.

  

  

• Resuelves la ecuación obtenida.

  

  

  

  R/ El cero de la función es .

2da vía: Aplicando propiedad fundamental de las proporciones

• Transpones el para obtener un único término en cada miembro de la ecuación.

  

  

• Aplicas la propiedad fundamental de las proporciones que en este caso se reduce a transponer multiplicando al otro miembro.

  

  

• Resuelves la ecuación obtenida

  

  

  R/ El cero de la función es .

Un obrero hace un trabajo en 3 días, mientras que otro obrero hace el mismo trabajo en 5 días. Si trabajan conjuntamente, ¿cuántos días como mínimo necesitarán para terminar el trabajo?

Solución:

Estos problemas se resuelven mediante el planteo de una ecuación fraccionaria, ya que tienes que expresar toda la información en función de la unidad, en este caso el trabajo a realizar.

En estos casos, resulta conveniente hacer una tabla donde expresemos estas relaciones. Para ello nombramos a los obreros con las letras y respectivamente y designamos por la cantidad de días que demoran en hacer el trabajo conjuntamente.

Puesto que la suma de la parte del trabajo que realiza el obrero en un día, más la parte que realiza el obrero en un día, es igual a la parte del trabajo que hacen ambos en un día, resulta la ecuación:

Resulta conveniente en este caso resolver la ecuación eliminando los denominadores.

• El mcm de los denominadores es: .

• Multiplicas la ecuación por el mcm y resuelves la ecuación obtenida.

  

  

  (Reduces los términos semejantes)

  (Despejas la variable)

• Como en el problema preguntan ¿cuántos días como mínimo necesitarán para terminar el trabajo?, necesitas hacer un redondeo del resultado.

  En este caso el redondeo aritmético debes hacerlo por exceso , que coincide con el redondeo lógico para dar la respuesta.

R/ Los dos obreros trabajando conjuntamente harán el trabajo en 2 días.

Dos llaves abiertas a la misma vez llenan una piscina en 2,0 horas. La primera llave lo hace por sí sola en 3,0 horas menos que la segunda.

¿Cuántas horas tarda cada una por separado en llenar la piscina?

Solución:

Al igual que en el problema anterior puedes auxiliarte de una tabla como la siguiente:

Puesto que la parte que llena la llave en una hora, más la parte que llena la llave en una hora, es igual a la parte que llenan juntas en ese mismo tiempo, resulta la ecuación:

• El mcm de los denominadores es: , con

• Multiplicas la ecuación por el mcm para eliminar los denominadores y resuelves la ecuación obtenida.

  (Eliminas los denominadores)

  (Eliminas los paréntesis)

  (Igualas a cero y reduces la ecuación)

  (Factorizas el trinomio)

  (Obtienes los valores de la variable)

Para la solución , se obtiene que la llave 1 llenaría la piscina en – 2 horas, lo que es imposible.

Para se obtiene la única respuesta a este problema la llave llena la piscina en 3 horas y la en 6 horas.

R/ La primera llave tardará 3 horas en llenar la piscina mientras que la segunda lo hará en 6 horas.

En una biblioteca se hacen algunos arreglos, por lo que se deben envasar 40 libros en cierta cantidad de cajas. Como se resolvieron 3 cajas menos de las previstas, se tuvo que colocar 3 libros más por caja. ¿Cuántas cajas se utilizaron y cuántos libros se colocaron en cada caja?

Solución:

• Declaras la variable

  Como no conoces la cantidad de cajas a utilizar, asignas a dicha cantidad.

• Escribes las situaciones planteadas en el problema en función de la variable declarada para poder formar la ecuación.

  - Como los 40 libros se debían envasar en cajas, en cada caja habrían libros.

  - Como se utilizaron 3 cajas menos, los 40 libros se envasaron en cajas, por lo que en cada caja quedaron libros.

  - Como se colocaron 3 libros más por caja, la ecuación queda:

  

• Para resolver la ecuación planteada, eliminas los denominadores multiplicando cada término por el mcm de ellos, o sea, .

  

  

• Resuelves la ecuación obtenida.

  

  (Eliminas los paréntesis)

  (Igualas la ecuación a cero)

  (Divides por 3 la ecuación)

  (Factorizas el trinomio)

  (Obtienes los valores de la variable)

• Compruebas las soluciones en el texto del problema

  Sabes que representa la cantidad de cajas que se iban a utilizar, esta cantidad no puede ser negativa. Luego, se iban a utilizar 8 cajas.

• Para dar la respuesta debes hacer otro análisis.

  Como la pregunta es cuántas cajas se utilizaron, calculas .

  La segunda parte de la pregunta está relacionada con la cantidad de libros que se colocaron por caja, para ello calculas .

R/ Se utilizaron 5 cajas y se colocaron 8 libros en cada una.