Bam_5to

Tema: El sistema de numeración decimal

Autora: MS.c Maritza Rodríguez Valdés

Primeramente deben conocer cómo está estructura la unidad y sus objetivos.

La primera unidad del curso de 5to grado Titulada: “Los números naturales” se dedica al repaso y sistematización de los principales conceptos, relaciones y procedimientos tratados en los números naturales que constituyen las condiciones previas del trabajo con las fracciones.
Este repaso parte del conocimiento de nuestro sistema de numeración, su carácter decimal y posicional y la estructura de números de cualquier cantidad de lugares, desarrollando habilidades en su lectura y escritura. También se recordarán los criterios de comparación para aplicarlo a la solución de ejercicios.
El peso mayor lo asume el trabajo por el desarrollo de habilidades de cálculo con las cuatro operaciones con números naturales.
Lo principal es la comprensión del sistema de numeración decimal, el cálculo con números naturales y las aplicaciones a ejercicios con texto y problemas.
Los objetivos específicos son:
-Leer, escribir y representar números naturales cualesquiera como múltiplos de potencias de 10 y en la tabla de posiciones.
-Dominar que con cada 10 unidades de un orden se forma una unidad del orden inmediato superior y comprender que con los 10 dígitos se pueden formar todos los números mediante la adición de múltiplos de potencias de 10.
-Comparar y ordenar números naturales y argumentar su respuesta.
-Determinar cantidades en números dados.
-Dominar el significado de las operaciones básicas con números naturales, así como calcular con seguridad y rapidez ejercicios de multiplicación por tres lugares; aplicar las propiedades en el cálculo y realizar correctamente operaciones combinadas según el orden establecido para ello.
-Determinar los valores que satisfacen igualdades y desigualdades con variables, utilizando como procedimiento la relación entre una operación y su inversa.
-Aplicar las reglas de divisibilidad por 2; 3; 5; 10; 100 y 1 000 en ejercicios formales y con texto.
-Resolver ejercidos con texto y problemas con números naturales y cantidades de magnitud.
1- El sistema de numeración decimal
Comenzar recordando cuáles son los dígitos o cifras básicas para lo que se debe proceder de la siguiente manera:
Pedir a los alumnos que digan números y se escriben en el pizarrón.
Preguntar entonces:
¿Cuántas cifras tiene cada número?
¿Cuáles son esas cifras?
Se irán escribiendo en el pizarrón a medida que se van diciendo, pero de modo que queden ordenadas:
dgitos

¿Existe alguna distinta a las anteriores?
Debe concluir que los números solo están formados por estas cifras, y que estas se denominan dígitos o cifras básicas. Escribir estos términos en el pizarrón para que vean cómo se escribes.
Después se recuerda la escritura de números como suma de múltiplos de 10.
suma_de_mltiplos

Aprovechar lo anterior para destacar que:
?La primera cifra de cada número, de derecha a izquierda, se llama unidad.
?La segunda cifra es un múltiplo de 10, se obtiene multiplicando un dígito por 10. Por eso se le llama decena.
?La tercera cifra es un múltiplo de 100, se obtiene multiplicando un dígito por 100. Por eso se le llama centena.

Posteriormente determinar qué número ocupa el lugar de las unidades de millar, centenas, decenas y unidades.

546

Luego incluir la siguiente interrogante:
¿Cuántas unidades de millar, centenas, decenas y unidades hay en el número 546?

526_cdu

Destacar lo importante que resulta dominar estos nombres, pues cuando un número es de más de tres cifras, se vuelven a repetir estas órdenes (el de las centenas, decenas y unidades) pero acompañadas de la palabra billón, millón, millar, etcétera.

Ejemplo:
¿Qué número ocupa el lugar de las unidades de millar, centenas, decenas y unidades?

3_546

¿Cuántas unidades de millar, centenas, decenas o unidades hay en el número 3 546?

3_546um_d_c_u

Tomando como base al análisis anterior se extenderá la numeración a números cualesquiera, introduciendo las denominaciones correspondientes a los billones y millones, pidiendo que vayan diciendo el orden de cada cifra (aprovechando para repasar la lectura y escritura de números). Así como la determinación de cantidades de cada número.
Es importante que se aproveche este trabajo para destacar el hecho de que con cada 10 unidades de un orden se forma una unidad del orden siguiente y concluir que todo número natural se puede formar mediante la adición de múltiplos de potencias de 10, por eso nuestro sistema de numeración se llama decimal o de base 10 y la posición que ocupa cada dígito es determinante.

Ejemplo:

25_226

Destacar que este carácter posicional posibilita que con solo 10 números (los dígitos) puedan escribirse todos los números naturales y que este conjunto que denominamos por N es infinito.
Resulta de vital importancia insistir en que no es lo mismo hablar de la cifra que ocupa un lugar en el sistema decimal (unidades, decenas, etcétera.) que la cantidad de elementos que de un orden determinado tiene un número.
Para el repaso de la lectura de los números naturales se hace necesario realizar un breve recuento del sistema de numeración decimal para a continuación recordar el algoritmo para favorecer esta lectura, empezando por separar el número dado de tres en tres cifras a partir de las unidades.

A la escritura se debe dedicar especial atención recordando que:

escritura_de_numeral

Insistimos en la importancia de realizar ejercicios donde los números a leer, escribir y comparar sean tomados de datos estadísticas económicas de nuestro país o del mundo, de un consultorio médico, de los resultados académicos de la escuela, la asistencia, de manera que vean la lectura y escritura de números como una necesidad y no como algo puramente matemático.

Al comparar dos números naturales debemos atender a la cantidad de cifras o de lugares que tienen los números. Por tanto es conveniente:

comparacin

Culminado el contenido relacionado con la numeración se comienza el tratamiento del cálculo.

  1. Adición y sustracción de números naturales

Como condición previa necesaria deben reactivarse los ejercicios básicos de adición y sustracción, mediante el cálculo oral en cada clase, así como el tratamiento del significado práctico de las operaciones.

Para el significado práctico de las operaciones es importante tener en cuenta:

adicin_y_sustraccin

Estos significados donde interviene el exceso, pueden reducirse al primero, pues una parte es igual a la parte de la otra. En este caso se puede modelar así:

esquema_P_T

A partir de la ejercitación se recordarán los conceptos sumandos, suma, minuendo, sustraendo y diferencia. Se deben realizar ejercicios donde se combinan estas dos operaciones.

Al calcular ejercicios donde aparece el cero como sumando o sustraendo se recuerda la propiedad.

a + 0 = a y a – 0 = a

Resulta necesaria la solución de ejercicios que permitan reafirmar los términos de las operaciones.

Ejemplo

Si el sustraendo es 24 032 y la diferencia es 63 017, ¿Cuál es el minuendo?
Si la suma es 52 478 y un sumando es 38 415, ¿Cuál es el otro sumando?

3- Multiplicación de números naturales

Para el aseguramiento de las condiciones previas necesarias deben reactivarse los productos básicos mediante el cálculo oral, así como la multiplicación por la unidad seguida de ceros, y el significado práctico de la multiplicación. Es primordial conocer que si las partes se le añade la propiedad de ser iguales, estamos en presencia de un significado para la multiplicación en términos de la relación parte – todo.

1- Reunión de partes iguales para hallar el todo. (suma de sumandos iguales).
2- Dada la cantidad de partes iguales y el contenido de cada parte, hallar el todo.
a · b = T
Al considerar las partes iguales se pueden apreciar tres cosas: el todo, la cantidad de partes y el contenido de cada parte.
3- Hallar múltiplos

En una caja hay 12 lápices. En otra caja hay el doble. ¿Cuántos lápices hay en la segunda caja?
Podemos analizar otros significados de la multiplicación que no están relacionados directamente con la relación parte – todo como son los siguientes:

4- Significado de área

rea

5- Conteo (diferentes maneras de hacer algo)

representacin_conteo

Es conveniente referirse a la importancia de saber calcular el producto, por los múltiples y variados problemas que nos permite resolver, y la necesidad de recordar los términos factores y productos, así como el procedimiento escrito de la multiplicación. Hacer referencia a la propiedad de que para cualquier número natural siempre se cumple que:
Si lo multiplicamos por 0 el producto es 0.
Si lo multiplicamos por 1 el producto es el mismo número.
Al calcular con números mayores debe ilustrarse el procedimiento en el pizarrón, mediante la solución de un ejercicio que el maestro considere conveniente. Señalando la importancia de realizar el estimado para tener una idea del resultado que se va a obtener. Este estimado no se exigirá por escrito, sino que se insistirá en que lo hagan mentalmente. Aunque no existen reglas para efectuar el estimado, se sugiere que se usen las del redondeo que ya son conocidas por los estudiantes.

Ejercicios Estimados

a) 861 · 78 a) 900 · 80 = 72 000

b) 462 · 409 b) 500 · 400 = 200 000

c) 2 023 · 937 c) 2 000 · 1 000 = 2 000 000

d) 894 975 · 313 d) 900 000 · 300 = 270 000 000

El estimado se ha hecho redondeando a múltiplo de 10,100, 1 000,... según el caso. El resultado que se obtiene da una idea del “tamaño" que debe tener la respuesta.

Se sugiere que se propongan ejercicios formales, con texto y problemas.

Resulta importante que se destaque la necesidad de establecer por convenio el orden a seguir en los ejercicios en que la multiplicación se combina con la adición y sustracción de modo que se garantice la unicidad del resultado. Para lograr una mejor comprensión puede situarse un contra ejemplo.

1 128 + 15 · 2 – 3 · 5 1 128 + 15 · 2 – 3 · 5

1 128 + 30 – 15 1 143 · 2 – 3 · 5

1 158 – 15 2 286 – 3 · 5

1 143 2 283 · 5

11 415

Tratamiento del cálculo de potencias

Para la motivación puede partirse del repaso de la descomposición de números como sumas de múltiplos de potencias de 10 y destacar que, por ejemplo, la notación 104 la utilizaron para expresar el 10 000, es decir:

10 000 = 10 · 10 · 10 · 10= 104

La potencia 104 es una forma de expresar abreviadamente el producto de 10 por él mismo 4 veces. Esto debe aprovecharse para situar otros ejemplos como:

6 · 6 = 62 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35, etcétera.

Debe concluirse que el producto a · a · a.....a de n factores iguales puede escribirse como la potencia an, destacando que a es la base y n el exponente.

En este caso n ? 2. También se va a reflexionar en el caso en que n = 1, y se informará que el exponente 1 no se acostumbra a escribir. Debe exponerse que la base y el exponente no se pueden conmutar.

Ejemplo:

potencia

Es necesario memorizar los cuadrados de los números del 1 al 12, para cuando tengan operaciones combinadas con la potenciación.

Deben iniciar al alumno en la solución de ecuaciones potenciales y exponenciales sencillas, lo que se hará mediante reflexiones lógicas. En cada caso deben estar orientados sobre qué buscan y ser capaces de describir la vía a seguir para buscarlo.

Por ejemplo:

Calcula el valor de x en las expresiones:
a) x2 = 25 b) 2x = 8
Reconocer que la base es el factor que se repite, en este caso dos veces.
Probar con los elementos del conjunto de los números naturales hasta encontrar cuál es el número que multiplicado por él mismo dos veces da 25.
Otra manera sería directamente recordar que 25 es el cuadrado de 5.

Para buscar el exponente es recomendable reconocer que el exponente indica el número de veces que debe multiplicar el 2 para obtener 8, por lo que hay que repetir este factor 1, 2, 3,..., veces hasta que el producto sea 8.

Otra variante es ir dividiendo tantas veces como sea necesario, por ejemplo

8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2 y 2 : 2 = 1. El número de veces que se divide es el exponente, 3 en este caso.

Se introducen ideas conjuntistas, lo que forma parte de las directrices fundamentales de la enseñanza de la Matemática.

4-División de números naturales

Deben conocer que si a las partes se le añade la propiedad de ser iguales, estamos en presencia de un significado para la operación de dividir en términos de la relación parte-todo.

División

1. Repartir en partes iguales el todo (hallar el contenido de cada parte).

T : a = b

2. Dado el todo y el contenido de cada parte, hallar la cantidad de partes (cuántas veces está contenida en el todo).

T : b = a

(a partes con b cosas en ellas)

3. Hallar una parte alícuota.

(Una unidad fraccionaria: mitad, décima parte, etcétera).

Otro significado de la división.

4. Restas sucesivas.

Las condiciones previas están dadas por el conocimiento de los ejercicios básicos de división y el procedimiento escrito de la división por divisores de un lugar. Mediante el cálculo oral se reactivarán los cocientes básicos.

Se introducen dos nuevos procedimientos: la división con divisores de tres lugares y la solución de ejercicios de división inexacta.

Como trabajo previo al tratamiento de este nuevo contenido se dedicarán las primeras clases a la ejercitación de la división por divisores de dos lugares, repasar los conceptos dividendo, divisor y cociente, insistir en la necesidad de hacer el estimado del resultado, que puede ser mental o escrito, recordando la conveniencia de utilizar las reglas del redondeo tal como se sugirió al tratar la multiplicación.

Además, se destacará la importancia de realizar la comprobación, reafirmando la relación de la división como operación inversa de la multiplicación.

Para el estimado en este caso se puede hacer así:

? Redondear el divisor a un múltiplo de 10 o de 100 (si es de 2 ó 3 cifras). Para ello usan las reglas ya conocidas.

? Redondear el dividendo convenientemente de modo que se pueda dividir fácilmente por el divisor redondeado.

? Recordar que si en el dividendo y el divisor aparecen ceros, se puede trabajar con números más pequeños, eliminando el mismo número de ceros en ambos. Al tachar los ceros por lo general se reduce la división a un divisor de una cifra.

Se introduce la división por divisores de tres lugares de manera natural a partir del caso de divisores con dos lugares.

Proponer varios ejercicios de división con dos o tres lugares en el divisor y una vez resueltos se destaca el hecho de que cuando el divisor tiene tres cifras se procede igual que cuando tiene dos.

En resumen debe quedar bien claro:

? Cómo realizar el estimado y su utilidad.

? Cómo calcular cada cociente parcial:

Se toma solo la primera cifra del divisor (se redondea primero si es conveniente).

Se toma la primera cifra del dividendo (o las dos primeras si la primera no basta).

Se divide (en la mente) las cifras tomadas del dividendo por las tomadas en el divisor.

Se prueba con el cociente obtenido para ver si sirve.

Para ello se multiplica por el divisor original y el producto se resta del dividendo parcial. Si el resto es menor que el divisor el cociente parcial obtenido es el buscado.

La división inexacta se trata partiendo de la solución de un ejercicio en el que queda un resto cero. Informándoles que estas divisiones se denominan inexactas y se nombran sus términos.

Ejemplo:

Trminos_de_divisin

Al comprobar tenemos que multiplicar el cociente por el divisor y sumar el resto.

7 · 5 = 35; 35 + 2 = 37

Se trataran aquellos ejemplos en que el dividendo sea cero y se presentará otro ejemplo en que el divisor sea cero para hacer la diferenciación de casos en cuanto a su solución.

0 : 5 = 0

5 : 0 no se puede realizar.

Recordar el orden establecido para resolver las operaciones cuando aparecen combinadas incluyendo en este momento la división en el lugar que le corresponde. Además tratar el cálculo de promedios retomando el procedimiento a seguir.

Tratamiento de las igualdades

En el tratamiento de la adición y la sustracción se dieron ideas para tratar la solución de igualdades y desigualdades utilizando la relación entre la adición y la sustracción; en este punto esencial procederemos de forma análoga, pero utilizaremos, además, la relación entre la multiplicación y la división.

Lo esencial a lograr es resolver igualdades hasta del tipo ax + b = c.

Para el aseguramiento de las condiciones previas debe:

Repasarse la solución de igualdades en las que deban utilizar la relación entre la adición y la sustracción.

En la motivación pueden presentarse algunas igualdades para que las resuelvan mediante reflexiones lógicas.

15x = 150; 8x + 14 = 54; entre otras.

Se debe describir la vía que siguen al buscar el valor de x.

Incluir algún caso que no sea fácil resolver mediante reflexiones lógicas para explicar la necesidad de un procedimiento.

  1. Tratamiento de múltiplos y divisores

Introducir los conceptos “es múltiplo de” y “es divisor de” y aplicarlos a la solución de ejercicios.

Las condiciones previas de este contenido pueden asegurarse mediante el repaso de los procedimientos escritos de la multiplicación y división, así como la reactivación de los productos y cocientes básicos mediante el cálculo oral.

De grados anteriores el alumno conoce el concepto “es un múltiplo de” y ha trabajado con la relación “si a es un múltiplo de b entonces a es divisible por b”.

Precisar las siguientes ideas:

? Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar este número por otro cualquiera.

? Cada número natural tiene infinitos múltiplos.

? Todo número es un múltiplo de sí mismo.

? El cero es múltiplo de cualquier número y es el menor de sus múltiplos.

Para determinar si un número cualquiera es múltiplo de otro, dividimos, y si la división es exacta, entonces podemos asegurar que sí es múltiplo de él.

El concepto “es divisor de” se elaborará en estrecha relación con el concepto “es múltiplo de”, por lo que se partirá de un análisis como el que sigue:

20 es múltiplo de 10 porque 20 = 2 · 10 y se destacará que en ese ejercicio de multiplicación 20 es el producto y, 2 y 10 los factores, pero que si pensamos en la división, tanto 2 como 10 son divisores de 20 porque 20 : 5 = 10 y 20 : 10 = 5, es decir, que 5 y 10 dividen exactamente a 20.

Los divisores de 20 forman un conjunto cuyos elementos son:

D20 = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

Debe destacarse que:

? Todo número que divida exactamente a otro, es un divisor de él.

? A diferencia de los múltiplos, siempre podemos hallar todos los divisores de un número. Este conjunto tiene un número finito de elementos.

? Todo número es divisor de sí mismo y el mayor de sus divisores.

? El 1 es divisor de todos los números y es el menor de sus divisores.

Aprenden un procedimiento para encontrar todos los divisores de un número.

Buscar todos los pares de factores cuyo producto es igual al número.

Otra vía es ir dividiendo a 12 por todos los números menores que él y los que den cociente exacto son sus divisores, además de él.

Tratamiento de las reglas de divisibilidad

Repasar las reglas de divisibilidad por 2, 5, 10, 100 y 1 000, y se introduce la del 3.

Para tratar la divisibilidad por 3 tomar como punto de partida el análisis de los múltiplos de 3

3 · 1 = 3

3 · 2 = 6

3 · 3 = 9

3 · 4 = 12 — Aquí el maestro dirigirá la atención a que si sumamos los dígitos del número 12 obtenemos un múltiplo de 3, es decir, 1 + 2 = 3. Este hecho se destacará también en los otros múltiplos de 3:

3 · 5 = 15 1 + 5 = 6

3 · 6 = 18 1 + 8 = 9

.

.

.

3 · 10 = 30 3 + 0 = 3

.

.

.

3 · 21 = 63 6 + 3 = 9

Pueden comprobar, además, que cualquier número en el que la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3, tiene al 3 como divisor. Luego los únicos números divisibles por 3 son los que la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.

Tratamiento de los ejercicios con texto y problemas

Se trabaja la solución de variados ejercicios en los que aplique lo estudiado en esta unidad temática.

En las clases dedicadas a la consolidación y profundización del contenido trabajar básicamente dos tipos de ejercicios:

? Los que contribuyen al desarrollo del pensamiento combinatorio.

? Los que se refieren al uso del lenguaje y simbología conjuntista.

Comentarios


german cadaias vera 23 de noviembre de 2017, 13:52 / Responder
Muy bueno los artículos que aparecen en este espacio.Tenemos una duda con respecto a la lectura deun número natural o expresión decimal y a la hora de escribir su numeral existe diferencia en estos térninos
M.Sc Mirta Capote Jaume 4 de diciembre de 2017, 10:23 / Responder
Para aclarar su duda le recomendamos consultar los videos accediendo a: http://matematica.cubaeduca.cu/videos-lectura-y-escritura-de-numeros-naturales

Deja un comentario